简谐振子,波动方程和音速的导出

作为可压缩流体力学的基础概念,音速通常出现在教科书的最前端,从此引出亚音速/超音速流动的概念继而展开之后的话题。可惜的是大多数流体力学的教科书都采用一种流体的思考方式来导出音速,结果导致迷失了音速本来的物理本质,大大阻碍了读者对音速的体会。本文旨在介绍从经典力学的角度导出音速的方法,希望同学们看完以后可以豁然开朗从而把压缩性流体力学的书彻底烧掉(侬。。)。好嘛。。。Let’s get started

教科书的复印

音波作为一种微小扰动,其本质是传播媒介中的压力波(通常来说就是空气中)。想象压力波在空气中传播时,其波面前方和波面后方的空气性质会发生微小的变化,压力波通过以后的空气会被微弱地压缩(怎么想象法?为什么被压缩?后面是后到哪里?)

  • 压力波前方空气:速度,压力,密度,温度
  • 压力波后方空气:速度,压力,密度,温度 这里假设音波是向x轴负方向传播,压力波后方速度的说明空气呈现被微弱压缩的状态,如图:

1D sound wave model

从图中可以看到,这里空气分子的局部移动速度和音波的方向都是朝向x轴的负方向,且注意到空气分子局部移动的速度和音波传播的速度并不是一回事。音波是压缩状态的传播,而不是分子的移动。

然后为了减轻思考的负担,我们把参考系和音波波面重合,使得整个参考系以固定的音速向x轴负方向移动,这样我们就可以对音波波面附近建立静止的控制容积,而不需要再去思考和音波的相对速度。幸好音波是没有加减速的,所以状态量只有速度被加了一个常数

  • 压力波前方空气:速度,压力,密度,温度
  • 压力波后方空气:速度,压力,密度,温度

对这样一个包含音波波面的静止控制容积建立质量守恒和动量守恒方程:

两式连立并消去以后,发现,到这里导出已经基本完成。而后假设这种音波的压缩是绝热压缩,就可以利用压力和密度的关系得到:

Written on August 3, 2017