粽子中的自然常数"e"

欧拉公式\(e^{ix} = cos(x) + i\cdot sin(x)\)可能是最莫名奇妙的数学公式之一。对于大多数人来说,问题在于公式的左边:

  • 虚数指数意味什么?我从来没有学过虚数指数的定义。

有趣的是,事实上这并不是问题的最本源。在这之前,我们真正需要解决的问题其实是:

  • 到底是什么?为什么是而不是等等等等…

填补空白最好的办法,就是回到空白。让我们回到Euler发明这个公式之前,一探自然对数底的由来。

被埋藏在数据中的

17世纪初期,航海家普遍依赖一种叫做天测航法的技术在看不到陆地的大海中确定方位。这种技术依赖于大量的三角函数的乘算和除算,然而在还没有发明计算机的17世纪,如何快速正确地算出代数计算式的值成为一个实际的问题。 苏格兰数学家John Napier为了提高代数运算的效率和正确率,在一篇他称之为“美妙的对数表”的论文中设计了一套查表计算的方法,使得两个数的乘除运算只需通过查表就可以完成。

为了说明他的方法,在论文中Napier提出了一个假想的计算模型。设想有两个粒子,同时开始向右边运动。粒子在一根无限延伸的轴上以一定的速度前进;而粒子则在一根有限长的轴上,进行减速运动,它在每个时刻的速度,都和有限长轴剩余的长度成正比。 Napier's virtual experiment

Napier在实际的论文中选择了比图中例子小得多的时间步长,并采用离散时间的方法(得出上一步的位置后,重新计算剩下的长度, 再计算与之对应的速度,然后再计算下一步的位置)得出了每个时刻t所对应的的位置。

现在,假设你想计算0.9和0.73的乘积,你只需从表中右列找到最接近他们的数字(在图中是第一行和第三行),反过来查出他们对应 的时间,把时间相加(得出4),然后查出4所对应的位置,即是你想要的乘积。(为什么捏?)

事实上,用今天的知识我们知道,所在轴的剩余长度满足微分方程,而这个微分方程的解即是。 所以Napier所计算的的位置,即包含了自然对数底。不过在根本还没有发明微积分的17世纪,直到Napier本人花了20年完成这份 对数表的时候,也没有发现这个数列中隐藏了一个不变的常数。

常数的发现

1684年瑞士数学家Jacob Bernoulli在研究复利时思考了如下的问题模型:假设有一个人在银行中存了1.00元,而银行的年利率是100%,那么在年末的时候 他的帐号就应该有本金的1.00元和利息的1.00元合起来正好是2.00元。可是,如果我们将年利率看似等价地转换成每半年50%,那么在年末的时候他的帐号就应该有元?如果我们再细分成月利率,甚至日利率,这个数字会变成多少?这个问题等价成:

通过一些简单的计算Jacob立刻发现,即便是将利率划分成日利率,这个数字也只会增加到约2.715元,所以这个算式很有可能存在极限。 随后利用二项式展开上面的n次方式,Jacob证明了这个极限一定存在于2和3之间。我们只选取其中最简单的展开部分:

当n趋向于无穷大时,上述求和的每一项都趋向于,所以上述极限就变为:

上述两式也是我们现在用于定义常数的重要公式。(也就是说这就是的根本定义

显然,Jacob本人也根本没有意识到,他所发现的这个常数和神马对数神马微分方程能扯上关系。(几乎在17世纪同时,Leibniz和Newton 刚刚构建了微积分的基础理论)

的证明

大约60年后Euler继承了Jacob的研究结果,将上述常数首次命名为,并且进一步研究了上面这个极限的指数性质 (不太清楚Euler这些研究的具体动机):

在这里(所以这里忽略了不是整数的一些情况)。同样用二项式展开右边Euler发现同样是一个具有简单形式的数列极限:

同时在Euler所处的18世纪,微积分的基础理论已经逐渐完善。Euler尝试了这种最新的技术并立刻发现

终于有一天Euler手痒将虚数代入了这个公式并且和的泰勒展开做了比较…

Euler's equation

现在你看到了和Euler一样的虚数指数

小结

  • 常数的定义不来自于对数(Napier并没有发现和对数的关系),也不来自于微积分,而是由一个数列极限产生:
  • 虚数指数自然而然地产生于将虚数单位代入的级数表达式。(可以证明虚数指数同样满足实数指数运算的性质)
  • 虚数指数在复平面上将实数旋转成为复数。欧拉公式当然可以用换底公式写成其他整数的指数,但是这都不是Euler得出这个公式的方法,而且使用换底会使公式的右边多出一些系数。
  • 课后作业:

参考文献

Napier’s ideal construction of the logarithms by Denis Roegel

Logarithms: The Early History of a Familiar Function - John Napier Introduces Logarithms by Kathleen M. Clark

Written on June 8, 2016